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折扣率公式(【知识点】解一元二次方程求一元二次方程解方程的过程)

一、二次方程的定义

只包含一个未知数且未知数最高为 2 的整数方程称为一元二次方程。

一元二次方程的一般形式:ax^2+bx+c=0 (a≠0)

其特点是:

等式左边是关于未知数x的二次多项式,等式右边为零,

ax^2称为二次项,a称为二次项系数;

bx 称为一阶项,b 称为一阶项系数;

c 称为常数项。

方程特征:

(1) 该方程是一个积分方程。

(2) 方程只有一个未知数。

(3) 该方程中未知数的最高次数为 2。

判断方法:

要判断一个方程是否是一个变量的二次方程,首先要检查它是否是一个整数方程。如果是这样折扣率公式,请重新组织它。如果可以整理成(a≠0)的形式,那么这个方程就是一个变量的二次方程。

称呼:

①“a≠0”是单变量二次方程一般形式的重要组成部分。当 a=0 且 b≠0 时,它变成一个变量的线性方程。反之,如果明确它是一个变量的二次方程,则隐含条件a≠0;

②任何一个变量的二次方程经过排序后都可以转化为一般形式。在判断一个方程是否为一个变量的二次方程时,首先将其转化为一般形式折扣率公式,然后再进行判断;

③ 二次项系数、线性项系数和常数项都是用一般形式定义的,所以在确定一个变量的二次方程各项系数时,应先将方程转化为一般形式;

④项的系数包括它前面的符号。

例如:x^2+5x+3=0的一阶系数是5,不是5x;

3x^2+4x-1=0的常数项是-1而不是1;

⑤若将一元二次方程转化为一元二次方程的一般形式,指出二次项系数、线性项系数和常数项。

二、一元二次方程的解

使方程左右两边相等的未知值称为方程的解。

3. 求解一元二次方程

求解一个变量的二次方程的过程称为求解一个变量的二次方程。

4. 吠陀定理

一个变量的二次方程的根和系数之间的关系(下面两个公式很重要,经常在考试中使用)

通式:ax^2+bx+c=0的两个根x1和x2的关系:

x1+x2= -b/a

x1·x2=c/a

五、一元二次方程的解:

1.直接开启方式

用平方根的定义直接对一元二次方程的解求平方称为直接平方根法。

直接调平法适用于求解形式为 (x+a)^2=b 的二次方程,

根据平方根的定义,x+a是b的平方根,

当b>=0时,x+a=+-(b)^1/2,→→→ x=-a+-(b)^1/2;

当 b

用直接开法求一元二次方程在一个变量上的根,需要正确使用平方根的性质。

即有两个正数的平方根,它们是相反数,零的平方根为零,没有负数的平方根。

2.匹配方法

匹配法是一种重要的数学方法,不仅用于求解一个变量的二次方程,而且在其他数学领域也有广泛的应用。匹配方法的理论基础是完美平方公式

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,

(ab)^2=a^2-2ab+b^2,

将公式中的 a 视为未知 x 并将其替换为 x,则我们有:

(x+b)^2=x^2+2xb+b^2,

(xb)^2=x^2-2xb+b^2,

3.公式法

公式法是利用根公式求解一个变量的二次方程的方法,是求解一个变量的二次方程的一般方法。

一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的求根公式:

x=[-b+-(b^2-4ac)]/2a (b^2-4ac>=0)

根公式专门用于求解一个变量的二次方程商场打折,所以首先要求a≠0;

并且因为平方根运算,平方根必须是非负数,所以第二个条件是b2-4ac≥0。

即根公式的前提条件是a≠0且b^2-4ac≥0。

4.保理方法

因式分解法是利用因式分解的手段求方程的解。该方法简单易实现,是求解一维二次方程最常用的方法。

6. 根的判别式:

二次方程的根的判别式ax^2+bx+c=0(a≠0)△=b^2-4ac。

ax^2+bx+c=0(a≠0)中的定理1,△>0→→→方程有两个不等实根;

ax^2+bx+c=0(a≠0)中的定理2,△=0→→→方程有两个相等的实根;

定理3 ax^2+bx+c=0(a≠0),△<0→→→方程没有实根。

根判别式的逆应用(注意:根据教科书“逆也成立”)产生三个定理。

在定理4 ax^2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个不等实根→→→△>0;

ax^2+bx+c=0(a≠0)中的定理5,方程有两个相等的实根→→→△=0;

在定理6 ax^2+bx+c=0(a≠0)中,方程没有实根→→→△<0。

注意:

(1)再次强调:根的判别式指的是△=b^2-4ac。

(2)在使用判别式之前,必须将方程变为一般形式,才能正确求出a、b、c的值。

(3) 如果说方程,它应该包括两个不相等的实根或两个相等的实根。此时b2-4ac≥0,不丢等号。

(4)根的判别式b^2-4ac的使用条件是在一个变量的二次方程中,不在其他方程中,所以要注意隐含条件a≠0。

7. 根的判别式有以下应用:

①如果不解一个变量的二次方程,判断根的情况;

②根据方程根的条件,确定待定系数的取值范围;

③证明字母系数方程有实根或无实根;

④应用根的判别式判断三角形的形状;

⑤判断字母的值是什么时,二次方三项完全平方;

⑥ 可以判断抛物线和直线是否有共同点;

⑦ 可以判断抛物线与x轴有多少交点;

⑧利用根的判别式求解抛物线(△>0)与x轴的两个交点的距离问题。

8. 一元二次方程的根与系数的关系:

如果方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两个实根是x1,x2,

那么 x1+x2= -b/a

x1·x2=c/a

也就是说,对于具有实根的一个变量中的任何二次方程,

两个根之和等于方程一次项的系数除以二次项的系数得到的商的倒数;

两个根的乘积等于常数项除以二次项的系数得到的商。

9. 一元二次方程的根与系数关系的推论:

1.如果方程x^2+px+q=0的两个根是x1,x2,

那么x1+x2=-p,x1`x2=q2。

以x1和x2两个数为根(二次系数为1)的二次方程为x^2-(x1+x2)x+x1x2=0

暗示:

①根与系数的关系与使用根的判别式相同。方程必须转换成一般形式,才能正确确定a、b、c的值。

②从推论1可以看出,对于一个二次项系数为1的二次方程,其两个根之和等于一阶项系数的倒数,两个根之积相等到常数项。

③ 推论2可以看成是推论1的逆定理。利用推论2,可以直接求出以x1和x2两个数为根的一个变量的二次方程(二次项系数为1)为x^2-( x1+x2 )x+x1x2=0

建立求解一个变量的二次方程模型,将得到的答案带回实际问题中,检验解决折扣、营销、增长率等实际问题是否合理。

10. 列出求解一个变量的二次方程问题的一般步骤:

可以概括为“试、设计、列、解、答”五个步骤,即:

(1)复习:指读题意,理清题意,弄清哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间的关系;

(2)集合:指集合未知数;

(3)列:就是列方程,是很重要的一步。一般是先找到一个能表达应用题全部意义的等价关系,然后用列代数公式表达等价关系中的每一个量,进而得到包含未知数的方程。公式,方程;

(4)解:解方程,求两个未知数的值;

(5) 答案:在对所得方程的解作出合理判断的基础上,写出答案。

暗示:

①制定方程解决应用问题时,要善于将普通语言转化为数学语言。复习题时要特别注意关键词,如“多、少、快、慢、和、差、次、分、超过、剩余、增加”。此外,一些常用的公式或特殊等价关系应掌握特殊图形的面积公式、笔画问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系。

②注意解的选择和root验证。在具体问题中,要注意正确选择解法,保证解题过程简单、顺利。特别要注意检查方程的解,并根据实际情况做出正确的选择,以保证结论的准确性。.

11.常见题型:

1、工程问题:工程问题中的三个量及其关系为:总工作量=工作效率×工作时间

当问题中经常没有给出总工作量时,将总工作量设置为单位 1。

2、盈亏问题销售问题中经常出现的数量有:进货价、售价、标价、利润等相关关系:

商品利润=商品价格-商品进货价=商品价格×折现率-商品进货价

商品利润率=商品利润/商品进价

商品价格=商品价格×折现率

3、存款利率问题

利息=本金×利率×期数

本息之和=本金+利息

利息税=利息×税率(例:20%)

4.行程问题

【基本数量关系】

距离=速度x时间,

时间=距离÷速度,

速度=距离÷时间。

①遇到问题:快行距+慢行距=原始行距;

②追的问题:快行距-慢行距=原始行距;

③导航问题:

下游(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度,

水头(风)速=静水(风)速-水流(风)速

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